Notación SUMA RIEMANN- INTEGRAL DEFINIDA

  Anteriormente aprendimos a calcular el área de una región plana R.


donde:

[0, x] se dividió en n partes iguales de longitud Δx (partición regular)

Se tomó wi como el extremo izquierdo o derecho de cada subintervalo [xi-1, xi] en el que quedó dividido el intervalo [0, x]

Únicamente se consideraron valores positivos para f(x) en el intervalo [0, x]

Ahora, generalicemos…sea f una función continua en [a, b]. :



Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos no necesariamente iguales eligiendo n-1 puntos entre a y b, y, hagamos x0=a y xn=b de tal forma que:

x0 < x1 < x2 < x3 < … < xn-2 < xn-1 < xn

denotemos por Δix la longitud de cada subintervalo  tal que:

Δ1x = x1 – x0 Δ2x = x2 – x1 …
Δix = xi – xi-1 …
Δn-1x = xn-1 – xn-2 Δnx = xn – xn-1

Esto es:


Al conjunto de subintervalos de [a, b] se le denomina partición de [a, b] y se denota Δ. A la longitud del subintervalo (o subintervalos) más largo de la partición Δ se llama norma de la partición y se le denota ||Δ||.

Elijamos un punto wi en cada subintervalo de la partición Δ tal que
xi-1 ≤ wi ≤ xi
Tracemos rectángulos que tengan como base a cada subintervalo de la partición Δ y altura f(wi).

Esto quedaria:



A la suma de las áreas de estos rectángulos se le conoce como Suma de Riemann que está dada por:

f(w1)Δ1x + f(w2)Δ2x + … + f(wi)Δix + … + f(wn-1)Δn-1x + f(wn)Δnx 

o bien:


Si hacemos que la norma de la partición Δ se aproxima a cero, la suma de Riemann se aproximará a un valor L que corresponde a la suma algebraica de las áreas comprendidas entre la gráfica de la función y=f(x) y el eje x desde a hasta b.

Esto es:



El concepto anterior se conoce como integración definida y se denota por 

La integral definida (Riemann) de una función f continua en [a, b], está dada por:


si el límite existe.



Integral Definida

Sirve para calcular el área de debajo de una curva lineal en un intervalo






Nota:





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